חקירת מנה 4חקירת פונקציות 571 · שיעור 55

שיעור 55: חקירת מנה 4

חקירת פונקציות · 5 יחידות · שאלון 571

פונקצית מנה

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 3x²x² + x − 2 .

א.(1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) .

(2) מצא את האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המקבילות לצירים.

(3) מצא את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

(4) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבע את סוגן.

(5) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) .

ב.סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .

ג.האם גרף הפונקציה f(x) חותך את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה f(x) ? אם הוא חותך את האסימפטוטה, מצא את שיעורי נקודת החיתוך.

📄 נוסח השאלה · המשך

ד.נתון: לפונקציה g(x) = f(x) + c ( c הוא פרמטר) יש אסימפטוטה אופקית y = 5 . מצא את c . נמק.

🔷 סעיף א: חקירה

סעיף א(1): מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)

לוקחים את המכנה ודורשים שיהיה שונה מ־0:

x² + x − 2 ≠ 0

פותרים בטרינום (אפשר גם בנוסחת השורשים):

(x + 2)(x − 1) ≠ 0

✅ x ≠ −2 , x ≠ 1

🔷 סעיף א: חקירה

סעיף א(2): מצא את האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המקבילות לצירים

אנכיות: הערכים שמחוץ לתחום ההגדרה. בודקים שהם לא מאפסים את המונה:

מציבים במונה x = 1 : לא מאפס, לכן זו אסימפטוטה אנכית

מציבים במונה x = −2 : לא מאפס, לכן זו אסימפטוטה אנכית

אופקית: החזקה הכי גבוהה במונה היא x² , והחזקה הכי גבוהה במכנה היא גם x² (אם לא כתוב מקדם, המקדם הוא 1).

כשהחזקות שוות, האסימפטוטה האופקית היא המקדם של המונה חלקי המקדם של המכנה:

y = 3x²1x²

y = 31 = 3

✅ x = 1 , x = −2 , y = 3

🔷 סעיף א: חקירה

סעיף א(3): מצא את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים

פעם אחת מציבים x = 0 , ופעם שנייה מציבים y = 0 .

חיתוך עם ציר y: מציבים x = 0

f(0) = 3 · 0²0² + 0 − 2

= 0−2 = 0

נקודה ראשונה: (0 , 0)

חיתוך עם ציר x: מציבים y = 0

0 = 3x²x² + x − 2

כפל בהצלבה:

0 = 3x² / :3

0 = x²

🔷 סעיף א: חקירה · המשך

0 = x²

מוציאים שורש:

x = 0

קיבלנו שוב את אותה נקודה (0 , 0)

✅ נקודת החיתוך: (0 , 0)

🔷 סעיף א: חקירה

סעיף א(4): מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבע את סוגן

נגזרת מנה: נגזרת המונה כפול המכנה, פחות נגזרת המכנה כפול המונה, חלקי המכנה בריבוע:

f'(x) =

6x(x²+x−2) − (2x+1)·3x²(x²+x−2)² = 0

כופלים במכנה, המכנה נופל, ופותחים סוגריים:

6x³ + 6x² − 12x

− 6x³ − 3x² = 0

3x² − 12x = 0 / :3

x² − 4x = 0

מוציאים גורם משותף:

x(x − 4) = 0

x = 0 , x = 4

🔷 סעיף א: חקירה · המשך

x = 0 , x = 4

מציבים בפונקציה המקורית כדי למצוא את ה־y:

f(0) = 3 · 0²0² + 0 − 2 = 0

f(4) = 3 · 4²4² + 4 − 2

= 4818 = 223

בונים טבלה עם הנקודות x = 0 , x = 4 ועם האסימפטוטות x = −2 , x = 1 .

מציבים נקודות מכל תחום בביטוי x² − 4x . מספיק להציב בו, כי לא חילקנו במספר שלילי ולכן הסימן לא השתנה.

מציבים x = −1 :

(−1)² − 4 · (−1) = 1 + 4 > 0

חיובי ← הפונקציה עולה

🔷 סעיף א: חקירה · המשך

חיובי ← הפונקציה עולה

מציבים x = 12 :

(12)² − 4 · 12 = 14 − 2 < 0

שלילי ← הפונקציה יורדת

הפונקציה עולה ואחר כך יורדת, ולכן x = 0 נקודת מקסימום.

מציבים x = 2 :

2² − 4 · 2 = 4 − 8 < 0

שלילי ← הפונקציה יורדת

מציבים x = 5 :

5² − 4 · 5 = 25 − 20 > 0

חיובי ← הפונקציה עולה

🔷 סעיף א: חקירה · המשך

חיובי ← הפונקציה עולה

הפונקציה יורדת ואחר כך עולה, ולכן x = 4 נקודת מינימום.

✅

מקסימום: (0 , 0)

מינימום: (4 , 223)

🔷 סעיף א: חקירה

סעיף א(5): מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)

בודקים מה קורה לפני האסימפטוטה x = −2 :

מציבים x = −3 :

(−3)² − 4 · (−3) = 9 + 12 > 0

חיובי ← הפונקציה עולה

כותבים את התחומים לפי החצים בטבלה:

✅

עולה: x < −2 , −2 < x < 0 , x > 4

יורדת: 0 < x < 1 , 1 < x < 4

🔷 סעיף ב: סקיצה

סעיף ב: סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x)

מתחילים מהאסימפטוטות (מעין גדר): אנכיות x = 1 , x = −2 , ואופקית y = 3 .

נקודת החיתוך (0 , 0) היא גם נקודת מקסימום.

הנקודה (4 , 223) היא נקודת מינימום.

הגרף מתקרב לאסימפטוטה האנכית ושואף לאסימפטוטה האופקית, אבל לא נוגע בהן.

כשיש שתי אסימפטוטות אנכיות, הציור מתחלק לשלושה חלקים, ולכן חייבים לצייר גם בצד שמאל.

בצד שמאל לא יצאה נקודת חיתוך, ולפי הטבלה לפני x = −2 הפונקציה עולה. לכן הגרף עולה ונצמד לאסימפטוטה.

🔷 סעיף ג

סעיף ג: האם גרף הפונקציה f(x) חותך את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה f(x) ? אם הוא חותך את האסימפטוטה, מצא את שיעורי נקודת החיתוך

בציור רואים שיש חיתוך עם האסימפטוטה האופקית y = 3 , ולכן התשובה היא כן.

משווים בין הפונקציה לאסימפטוטה האופקית:

3x²x² + x − 2 = 31

כפל בהצלבה:

3(x² + x − 2) = 3x² / :3

x² + x − 2 = x²

מעבירים אגפים, x² מתבטל:

x − 2 = 0

x = 2

ה־y של הנקודה הוא 3 , כי היא על האסימפטוטה.

🔷 סעיף ג · המשך

ה־y של הנקודה הוא 3 , כי היא על האסימפטוטה.

✅ כן, (2 , 3)

🔷 סעיף ד

סעיף ד: נתון: לפונקציה g(x) = f(x) + c ( c הוא פרמטר) יש אסימפטוטה אופקית y = 5 . מצא את c . נמק.

הפונקציה g(x) מורכבת מהפונקציה שלנו ועוד פרמטר c .

לפונקציה f(x) יש אסימפטוטה אופקית y = 3 , ולפונקציה g(x) יש אסימפטוטה אופקית y = 5 .

כלומר הפונקציה g(x) עלתה בשתיים למעלה (ההפרש בין האסימפטוטות האופקיות):

c = 5 − 3

✅ c = 2

📌 לזכור

💡

כשהחזקה הכי גבוהה במונה שווה לחזקה הכי גבוהה במכנה, האסימפטוטה האופקית היא המקדם של המונה חלקי המקדם של המכנה.

💡

כשיש שתי אסימפטוטות אנכיות, הציור מתחלק לשלושה חלקים, וחייבים לצייר בכל אחד מהם.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא